ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
Κατηγορία Μαθήματος: Προπτυχιακό
Τύπος Μαθήματος: Υ
Κωδικός Γραμματείας: ΓΕ0104
Εξάμηνο:
 4° (Εαρινό)

Διάρκεια:

 5 ώρες/εβδ.
ECTS Units:
 6
Διδάσκων:
 Αγόρας Μιχάλης
 

Σκοπός
Στόχος του μαθήματος είναι να δώσει στον μαθητή τα απαραίτητα εργαλεία για την αναλυτική επίλυση Γραμμικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (ΜΔΕ). Αρχικά γίνεται εισαγωγή στην θεωρία Sturm-Liouville για την παραγωγή ιδιοτιμών και ιδιοσυναρτήσεων Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με μία παράμετρο.  Ο φοιτητής επίσης εξοικειώνεται με την θεωρία Fourier προκειμένου να διευκολυνθεί η επίλυση ΜΔΕ με την μέθοδο των χωριζόμενων μεταβλητών. Κατόπιν οι ΜΔΕ ταξινομούνται σε Ελλειπτικές Παραβολικές και Υπερβολικές και εισάγεται η μέθοδος των χαρακτηριστικών. Η Λαπλασιανή, η Poisson, η εξίσωση μεταφοράς θερμότητας και η κυματική εξίσωση επιλύονται για καρτεσιανές, κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες με τις Μεθόδους Χωριζόμενων Μεταβλητών και Πεπερασμένου Μετασχηματισμού Fourier. Τέλος εισάγεται  ο Ολοκληρωτικός Μετασχηματισμός Fourier για την επίλυση ΜΔΕ σε άπειρα και ημιάπειρα χωρία.

 
Περιεχόμενα
Θεωρία Sturm-Liouville. Αναπτύγματα σε Ιδιοσυναρτήσεις. Σειρές Fourier. Εισαγωγή στο Mathematica και στην χρήση Υπολογιστικού Περιβάλλοντος . Ταξινόμηση Διαφορικών Εξισώσεων με Μερικές Παραγώγους, Χαρακτηριστικές Καμπύλες-Μέθοδος Χαρακτηριστικών. Εξισώσεις Ελλειπτικού Τύπου (Εξίσωση Laplace, Poisson), Μέθοδος Χωριζόμενων Μεταβλητών και Πεπερασμένου Μετασχηματισμού Fourier. Προβλήματα Dirichlet & Von Neuman. Εφαρμογή σε Καρτεσιανές Συντεταγμένες, Κυλινδρικές Συντεταγμένες, Σφαιρικές Συντεταγμένες. Εξισώσεις Παραβολικού Τύπου (Εξίσωση Μεταφοράς Θερμότητας) Επίλυση με Μέθοδο Χωριζόμενων Μεταβλητών. Εξισώσεις Υπερβολικού Τύπου (Εξίσωση Κύματος)-Επίλυση με Μέθοδο Χωριζόμενων Μεταβλητών. Ολοκληρωτικός Μετασχηματισμός Fourier. Μεταφορά Θερμότητας και Κυματική Εξίσωση σε Άπειρο και Ημιάπειρο Χώρο.
Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών του Μαθήματος (Syllabus)
Βιβλιογραφία
  • Σ. Τραχανάς, "Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις"
  • Γ. Δάσιος, “Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις”
  • Γ. Δάσιος - Κ.Κυριάκη, “Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις”
  • Θ. Κυβεντίδης, "Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους"
  • M. Greenberg, "Foundations of Applied Mathematics"
Προαπαιτούμενα
MM100, MM101, MM200, MM300
Εργαστηριακές Ασκήσεις
 
Υπολογιστικές Ασκήσεις

Δίδονται 3 ασκήσεις ανά εξάμηνο με έμφαση στα

1) Θεωρία Sturm-Liouville και αναπτύγματα σε διδιοσυναρτήσεις

2) Επίλυση εξισώσεων laplace, Poisson με μεθόδους χωριζόμενων μεταβλητών και πεπερασμένου μετασχηματισμού Fourier σε διάφορα συστήματα συντεταγμένων.

3) Επίλυση Εξίσωσης Διάχυσης και Κυματικής Εξίσωσης με μέθοδο χωριζόμενων μεταβλητών σε διάφορα συστήματα συντεταγμένων.

Για την υλοποίηση των ασκήσεων αυτών οι φοιτητές ενθαρρύνονται να χρησιμοποιήσουν το Πακέτο Λογισμικού Mathematica:

1) Χρήση Υπολογιστικοιύ Πακέτου Mathematica για τον υπολογισμό απειροσειρών Fourier. Ταχύτητα σύγκλισης και αναπαράσταση λάθους. Αναπτύγματα σε Συναρτήσεις Bessel και πολυώνυμα Legendre.

2) Χρήση υπολογιστικού πακέτου Μathematica για την αναπαράσταση των λύσεων μερικών διαφορικών εξισώσεων σε απειροσειρές. Παρασκευή γραφημάτων και Post-processing των λύσεων.

 

 
Γλώσσα Διδασκαλίας
Ελληνική, tutoring (εάν χρειαστεί).
Μέθοδος Διδασκαλίας
Διάλεξη, εργαστήρια (2/Εξάμηνο)
Αξιολόγηση
Τελικές Εξετάσεις:
70%
Ασκήσεις:
30%
Φόρτος Εργασίας (σε ώρες)

Παρακολούθηση

Παραδόσεις:
50
Εργαστήρια:
0
Αίθουσα Η/Υ:
6
Φροντιστήρια:
0
Επισκέψεις σε Εργοστάσια:
0
Παρουσιάσεις:
0

Εκπόνηση

Μελέτη:
 58
Τεχνικές Αναφορές Εργαστηρίων:
0
Υπολογιστικές Εργασίες
0
Ασκήσεις:
30
Μελέτες (Projects):
0